Преподавание математики в школе в СССР и России

Вот уже 40 с лишним лет преподавание математики в школах СССР и России реформируют. Результат с каждым годом все более и более плачевный. Иной раз кажется, что реформирование преподавания математики имеет целью реформирование преподавания математики. Увы, это не единственный плачевный пример реформаторского зуда: экономика, правовая система, система государственного управления, управление армией и т.д. и т.п. Нигде не заметно ни единого положительного результата. Тенденция, однако. Но началось все с двух реформ: реформа в экономике – реформа Косыгина-Либермана, когда СССР из социалистической страны стал государственно-капиталистической (это мало кто заметил) и реформа в школе – реформа преподавания математики, так называемый «колмогоровская» реформа (в дальнейшем я покажу, что Андрей Николаевич имел к этой реформе примерно такое же отношение как свадебный генерал из водевиля Чехова).

В последнее время как нашей стране, так и вообще в мире сложилась крайне нездоровая ситуация с преподаванием математики. Проблема эта имеет как объективные, так и субъективные причины. Ситуация усугубляется тем, что математика является необходимой базой для ряд других наук и инженерных дисциплин. Что будет, если плохо обученный математике человек станет за пульт управления атомной электростанцией? По мере снижения уровня математического образования будет расти количество техногенных катастроф. В прямом соответствии с теорией французского математика Рене Тома (катастрофа типа «Складка»).

Преподавание математики в нашей стране можно условно разделить на следующие этапы:

А) до учебника Киселева;

Б) Преподавание по учебникам Киселева;

В) Преподавание после учебника Киселева.

Все дело в том, что на рубеже 19-го и 20-го веков начала складываться массовая школа – школа всеобщего начального и неполного среднего образования. К массовому преподаванию математики прежние учебники математики не были вполне пригодны. Именно на рубеже 19-го и 20-го веков скромный воронежский учитель Андрей Петрович Киселев создал практически эталонные учебники для преподавания математики (арифметики, алгебры и геометрии) в средней школе.

Краткая биографическая справка:

Андрей Петрович Киселев родился 12 декабря 1852 г. в городе Мценске Орловской губернии в бедной мещанской семье. Он учился один год в приходском училище, а затем три года в уездном училище. Андрею приходилось вести тяжелую борьбу за существование; еще в уездном училище ему пришлось начать учительскую карьеру.

По окончании уездного училища Андрей Киселев едет в Орел, чтобы поступить в гимназию. В Орле его приютил дальний родственник — состоятельный купец, благодаря которому Киселев поступил в гимназию. За обед и угол Киселев в течение шести лет, сам обучаясь в гимназии, учил шестерых детей своего родственника. Благодаря упорству и целеустремленности, обладая хорошими способностями, Киселев стал первым учеником гимназии, которую окончил в 1871 г. с золотой медалью. На деньги, заработанные от репетиторства и вырученные от продажи золотой медали, Киселев направился в Петербург и в 1871 г. поступил в университет на физико-математический факультет. В Петербургском университете в то время преподавали видные ученые — профессора Чебышев, Коркин, Сомов, Сохоцкий, Золотарев, Менделеев.

Умение упорно трудиться позволило Киселеву в январе 1875 г. досрочно окончить университетский курс со степенью кандидата за сочинение по высшей алгебре «Отделение корней».

После окончания университета Киселев был назначен преподавателем математики, механики и черчения в Воронежское реальное училище, в котором проработал до июля 1891 г. После 15-ти лет работы в Воронежском реальном училище он был переведен в Харьковское реальное училище преподавателем математики и физики. В 1892 г. Киселев вновь вернулся в Воронеж в качестве преподавателя математики и физики кадетского корпуса, в котором проработал еще 9 лет, до 1901 г. Проработав в Воронеже 25 лет, Киселев в 1901 г. вышел в отставку, чтобы все силы отдать работе над учебниками. При выходе на пенсию Киселеву был преподнесен адрес за подписью ста восьми человек — товарищей по работе, по общественной деятельности и родителей его учеников, с благодарностью за выдающиеся педагогические заслуги. Прекрасно зная преподаваемые предметы, следя за науками и обладая несомненными педагогическими способностями, он приносил большую пользу своим ученикам, способствуя их развитию и давая им солидные знания. При этом дисциплина и порядок в его классе всегда были образцовыми.

А.П. Киселев принимал активное участие в общественной жизни Воронежа, регулярно выступал с популярными лекциями по астрономии и физике. Свои лекции он иллюстрировал опытами и наглядными пособиями. В местной газете в 1892 г. был опубликован положительный отзыв на лекцию Киселева на тему «Исследование состава Солнца и других небесных тел посредством спектрального анализа». Публичные лекции Киселева вызывали живой интерес местной интеллигенции и способствовали ее объединению. Киселев был председателем педагогического совета женской гимназии, помогал бедным ученикам.

Киселев жил в те годы, когда старая методика преподавания математики себя изжила, а новая только рождалась в борьбе мнений. Многие считали, что Киселев не желает сотрудничать с прогрессивными педагогами-математиками. В первые годы Советской власти к Киселеву относились как к педагогу, не поддерживающему новые реформистские взгляды; между тем в это время Киселев с увлечением преподавал математику в нескольких школах красных командиров: в 1918–1921 гг. — на Высших командных курсах в Воронеже; в 1922–1924 гг. — в Военно-педагогической школе в Ленинграде; в 1925 г. — был главруком Смольнинских военных курсов; в 1925–1926 гг. — в школе военных сообщений.

К сожалению, в те годы руководители народного образования считали, что учебники Киселева устарели и мешают продвижению новой революционной педагогики. В первые годы революции учебники Киселева не переиздавались, и только с 1922 г. они стали выходить снова. С появлением рабфаков спрос на них резко возрос.

В 1933 г. Киселев за свою педагогическую и научную деятельность был награжден орденом Трудового Красного Знамени.

Последние годы жизни А.П. Киселев жил в Ленинграде и скончался в ноябре 1940 г. в возрасте 88-ми лет. Он похоронен в Ленинграде на Волковском кладбище. Его скромная могила — рядом с могилой Д.И. Менделеева.

Взято с : http://oko-planet.su/history/historysng/155456-russkie-uchebniki-po-matematike-ap-kiseleva-1852-1940.html

***

Создание своих книг Киселев начал с учебника по арифметике «Систематический курс арифметики для средних учебных заведений», на написание которого потратил около четырех лет и издал его в 1884 г. До 1938 г. было 36 изданий учебника тиражом 1 800 000 экземпляров; с 1938 г., когда учебник был утвержден стабильным, его тираж составил 3 миллиона экземпляров. Учебник имел очень хорошие отзывы профессора Шохор-Троцкого и члена-корреспондента Академии наук СССР Ермакова. Со второго издания учебник был одобрен ученым комитетом Министерства народного просвещения.

Не прерывая педагогической работы, Киселев написал учебник «Элементарная алгебра» в 2-х частях, который вышел в свет в 1888 г. В предисловии к первому изданию Киселев писал: «Автор предлагаемого курса прежде всего ставил себе целью достигнуть трех качеств хорошего учебника: точности в формулировке и установлении понятий, простоты в рассуждениях и сжатости в изложении». Учебник получил ряд лестных отзывов. До революции было 30 изданий «Элементарной алгебры», после революции более 10-ти изданий общим тиражом свыше 7 000 000 экземпляров.

В 1892 г. вышел учебник Киселева «Элементарная геометрия». Было выпущено 26 изданий до революции и 16 изданий после революции; в 1937 г. учебник был утвержден стабильным. В 1893 г. было выпущено пособие «Дополнительные статьи алгебры» — курс 7-го класса реальных училищ.

Продолжая работу по созданию новых учебников, в 1895 г. Киселев выпустил «Краткую арифметику для городских училищ». Этот учебник имел 21 издание общим тиражом 200 000 экземпляров, и в 1896 г. была издана «Краткая алгебра для женских гимназий и духовных семинарий», имевшая 16 изданий с общим тиражом 65 000 экземпляров.

Киселев много раз перерабатывал и усовершенствовал свои учебники, которые к началу XX в. почти вытеснили все другие и получили наибольшее распространение.

В 1902 г. вышла «Элементарная физика для средних учебных заведений со многими упражнениями и задачами в двух выпусках», выдержавшая 13 изданий. Учебник физики оказался для Киселева не таким удачным, как учебники по математике. Первенство принадлежало популярному учебнику физики известного преподавателя физики Краевича.

В связи с новым учебным планом для реальных училищ в новые программы по математике были включены элементы высшей математики, и Киселев в 1908 г. выпускает учебник «Начальное учение о производной». Во втором издании учебник получил новое название «Начала дифференциального и интегрального исчисления» и издавался семь раз. Традиционное изложение Киселев соединил с простотой и ясностью основ высшей математики. Он переработал 23 издания «Элементарной алгебры» на основе методологии, вытекающей из реформы школьной алгебры.

В 1913 г. была выпущена брошюра Киселева «Графическое изображение некоторых функций, рассматриваемых в элементарной алгебре», так как в учебнике «Элементарная алгебра» отсутствовали графические интерпретации. В брошюре «О тех вопросах элементарной геометрии, которые решаются обыкновенно с помощью пределов», выпущенной в 1916 г., Киселев рассматривает изложение вопросов о длине окружности и площади круга, площадей поверхностей простейших круглых тел и их объемов на основе непрерывности Дедекинда.

В 1923 г. Киселев выпустил интересную работу «Иррациональные числа, рассматриваемые как бесконечные непериодические десятичные дроби». В этой работе изложены сложные вопросы арифметических операций. В 1925 г. была издана книга «Элементы алгебры и анализа», в которой изложены геометрические интерпретации функций, что явилось началом реформы школьной алгебры.

В 1928 г. вышло в свет новое издание «Элементарной геометрии». В учебник были внесены серьезные изменения: введены основы проекционного черчения, сокращено изложение темы о конических сечениях, по-новому изложены вопросы о длине окружности и площади круга на базе аксиомы непрерывности, введен принцип Кавальери, добавлены геометрические задачи прикладного характера. В 1928 г. на 77-м году жизни Киселев выпускает новую книгу «Задачи и упражнения к элементам алгебры».

Учебники Киселева утверждаются стабильными вместо неудачных учебников Попова по арифметике, Гурвица и Тангнуса по геометрии. Под редакцией и в переработке Хинчина издается учебник по арифметике; под редакцией Барсукова выходит в свет переработанное издание учебника «Элементарная алгебра»; под редакцией Глаголева выходит переработанное издание «Элементарной геометрии». Учебники Киселева превосходили учебники других авторов настолько, что еще до революции они сделались почти стабильными. В них Киселев достиг высокой точности в определении математических понятий, простоты в рассуждениях, сжатости и ясности в изложении. Киселевым всегда соблюдалась мера между общим и частным, абстрактным и конкретным, между наукой и учебным предметом, между логикой предмета и психологией учебника. В содержании учебников не было ничего лишнего и ничего не было упущено. Расположение материала всегда строго продумано, чертежи выполнены очень удачно. Речь в учебниках близка к устной с ее интонациями и ударениями, с выделением соответствующих слов и предложений.

Киселев имел богатый 25-летний педагогический опыт. Он изучил постановку преподавания математики в русской и зарубежной школах. При составлении учебников Киселев использовал все книги на русском и иностранных языках, имеющиеся в его богатой библиотеке и библиотеках города. Он исходил из принципа «Как бы плох учебник ни был, но что-нибудь ценное в нем найти можно». Киселев умело находил границы между новым и еще только нарождающимся, между отмирающим и еще только входящим в жизнь. Только после тщательного анализа он вносил новое или отбрасывал отжившее старое. Конечно, по своей математической подготовке Киселев несколько отставал от уровня развития математики XX столетия, поэтому некоторые современные ему идеи математики не всегда находили отражение в его работах. Но своим упорным трудом он создавал необходимые условия для работы по созданию новых книг, отвечающих основным требованиям времени, и для их дальнейшего совершенствования. Для ознакомления со своими книгами Киселев бесплатно рассылал их учителям в провинции, что способствовало их быстрому распространению.

В чем же достоинство учебника Киселева по сравнению с предшествующими и последующими учебниками?

Свои педагогические принципы А. П. Киселев выразил очень кратко: "Автор... прежде всего ставил себе целью достигнуть трех качеств хорошего учебника:

точности в формулировке и установлении понятий,

простоты в рассуждениях и

сжатости в изложении" .

Ни предыдущие, ни последующие учебники не достигли параметров точности, простоты и сжатости изложения. Более того, стремление авторов реформы преподавания математики конца 60-х начала 70-х годов ХХ века (А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, Л.Г. Шнирельман, Л.А. Люстерник, Г М. Фихтенгольц, П.С. Александров, Н.Ф. Четверухин, С. Л. Соболев, А.Я. Хинчин и другие) к наукообразию в преподавании математики в школе раздули учебный материал и сделали его малопонятным для школьника. Авторы «забыли» что пишут учебник для школьника, а не для студента. Или не «забыли», а сознательно к этому шли? Во всяком разе Лев Семенович Понтрягин прямо об этом пишет: «После того как катастрофа была замечена и начал намечаться отпор происходящему, лица, каким-то образом заинтересованные в том, чтобы разгром продолжался, стали сопротивляться. В телевизионной передаче «Сегодня в мире» я сам слышал выступление комментатора В. Зорина, в котором он сообщал, что среднее математическое образование в Советском Союзе поставлено очень хорошо и что ему даётся высокая положительная оценка печатью Соединённых Штатов. Это было уже в самом конце 70-х годов. Нет сомнений, что похвала врагов есть дурной признак. Стоит заметить, что сам А. Н. Колмогоров в это время получил Государственную премию Израиля. Возможно, там высоко оценили тот разгром, происходящий в средней школе Советского Союза».

Подозрения о неслучайном характере реформирования преподавания математики в школе еще более усиливаются от чтения мемуаров А.Д.Сахарова, в которых Сахаров рассказывал кто его подтолкнул на скользкий путь диссидента:

«Генри приступил к изложению своего дела. Он сказал, что есть реальная опасность того, что приближающийся ХХIII съезд примет решения, реабилитирующие Сталина. Влиятельные военные и партийные круги стремятся к этому. Их пугает деидеологизация общества, упадок идеалов, провал экономической реформы Косыгина, создающий в стране обстановку бесперспективности. Но последствия такой “реабилитации” были бы ужасными, разрушительными. Многие в партии, в ее руководстве понимают это, и было бы очень важно, чтобы виднейшие представители советской интеллигенции поддержали эти здоровые силы.

Генри предупредил меня, что о письме будет сообщено иностранным корреспондентам в Москве. Я ответил, что у меня нет возражений. В заключение Генри попросил меня съездить к академику Колмогорову, пользующемуся очень большим авторитетом не только среди математиков, но и в партийных и особенно в военных кругах».

То, что создатель диссидентского движения – сотрудник Коминтерна Эрнст Генри не мог напрямую обратиться к Колмогорову, говорит о многом. Например, о том, что к определённым людям коминтерновца Генри просто не подпускали. Но Колмогоров, поначалу отказывавшийся подписывать письмо «против реабилитации» Сталина, в конце концов его подписал. Там вообще мутная история с этим вот письмом была: еще до направления его, собственно, в ЦК о его содержании стало известно газете итальянских еврокоммунистов «Унита». Тему создания диссидентского движения недобитыми коминтерновцами я как-нибудь разовью, но пока речь именно о математике и математиках.

Итак, реформа преподавания математики в средней школе была прикрыта авторитетом академика Колмогорова, который к этой вот реформе имел отношение весьма и весьма опосредованное.

Какой кадавр поначалу родился в результате реформирования? Предоставим слово Л.С.Понтрягину:

«Вместо общепринятого и наглядного представления о нём как о направленном отрезке (именно такое определение, например, сохранилось и в «Политехническом словаре», М., «Советская энциклопедия», 1976, с. 71) школьников заставляют заучивать следующее: «Вектором (параллельным переносом), определяемым парой (A, B) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка M отображается на такую точку M1, что луч MM1 сонаправлен с лучом AB и расстояние |MM1| равно расстоянию |AB|» (В. М. Клопский, З. А. Скопец, М. И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. 6-е изд. М., «Просвещение», 1980, с. 42)» (О математике и качестве её преподавания Впервые опубликовано в журнале «Коммунист», 1980, № 14).

Учить математику с такого рода «наукообразными» определениями попросту невозможно.

А что же было в учебном курсе Киселева? В общем то ничего особо сложного: простое и внятное изложение правил математики, определений и тем, что Конфуций называл именованием правильными именами: алгебра была алгеброй, а не началами математического анализа и введением в теорию множеств. Ну что такое алгебра? Система уравнений! Ну и самое главное – в учебном курсе Киселева наличествовала мать самой математики – геометрия. Трудно что то объяснить школьнику в математике без наглядных примеров, а их дает геометрия. Более того, математика выросла из геометрии. Реформаторы школы сыграли на больных чувствах Колмогорова (а они на них постоянно играли и отыгрывались), не сильно любившего геометрию. Нелюбовь к геометрии – это вообще обязательный атрибут «чистых математиков» - «игроков в бисер». Сама по себе математика возникла из необходимости решать банальные планировочные задачи. То есть из геометрии. Поле разделить, канал прорыть, храм построить, улицу выровнять, расходы по строительству дороги исчислить. Все в общем то практично и не требует излишнего абстрагирования. Но вот теперь геометрия стала парией в математике. Она не считается чем то нужным, даже в позднем СССР экзамены по геометрии тихо ушли в никуда. Забавно, но даже современная топология ближе к алгебре, чем к геометрии. Игроки в бисер побеждают реальность. Тенденция эта проявилась у нас позже чем во всем остальном мире. Вполне возможно, что «виноваты» здесь именно военные. Академик Владимир Игоревич Арнольд пишет: «Хочется выразить надежду, что наши военные столь сильному влиянию обскурантистов не подвергнутся (они даже помогли мне спасти геометрию от попыток «реформаторов» изгнать её из школы). Но и сегодняшние попытки понизить уровень школьного обучения в России до американских стандартов крайне опасны и для страны, и для мира». (взято с: http://scepsis.net/library/id_650.html В.И.Арнольд «Новый обскурантизм и Российское просвещение»)

Пренебрежение ученых «академиков» наглядным предметно-конкретным миром геометрии дорого обошлось школьникам: математику, лишенную геометрии способны освоить только 20% школьников. Геометрию — вовсе 1%... В сороковых годах, сразу после войны, полноценно усваивали все разделы математики 80% школьников, учившихся по Киселёву. Вот отзывы учителей о системе преподавания математики по Киселеву:

Академик РАО Ю.М. Колягин, доктор педагогических наук:

«Имя Андрея Петровича Киселева вызывает у учителей старшего поколения чувства, близкие к ностальгии: тоску о старом добром времени, о делах давно минувших лет, о своих успехах и неудачах на ниве просвещения. Учителя вспоминают то время, когда в школе действовал один учебник математики, действовал долго, и потому они имели возможность изучить все его достоинства и недостатки. Даже из тех, кто знает учебники А.П. Киселева не понаслышке, немногие осведомлены о том, что его учебные книги охватывали практически все школьные математические дисциплины: арифметику, алгебру, геометрию, начала анализа. Андрей Петрович был не только талантливым учителем, автором учебников, но и блестящим лектором».

Л.Н. Аверьянова, заместитель директора Государственной научной педагогической библиотеки имени К. Д. Ушинского:

"Андрей Петрович Киселев — это эпоха в педагогике и преподавании математики в средней школе. Его учебники математики установили рекорд долговечности, оставаясь свыше 60 лет самыми стабильными учебниками в отечественной школе, и на многие десятилетия определили уровень математической подготовки нескольких поколений граждан нашей страны".

А вот что пишет по этому поводу академик Владимир Игоревич Арнольд: «На одном из обсуждений проекта школьной реформы Учёным Советом Математического Института им. Стеклова РАН я упомянул, что хорошо было бы вернуться к прекрасным учебникам и задачникам Киселёва.

В ответ меня за это похвалила бывшая на этом заседании руководительница какого-то образовательного отдела: «Как я рада, что деятельность Киселёва получила поддержку столь квалифицированных специалистов!»

Позже мне объяснили, что Киселёв — фамилия одного из молодых подчинённых этой руководительницы, которая управляет школьной математикой, никогда и не слышав о переиздававшихся много десятков раз замечательных учебниках выдающегося гимназического учителя Киселёва. Учебники Киселёва, между прочим, не с самого начала были столь хороши. У первых изданий было много недостатков, но опыт десятков и сотен гимназических учителей позволил исправить и дополнить эти книги, ставшие (после какого-нибудь десятка первых изданий) монументальными образцами школьных учебников».

Вот, что пишет об учебнике Киселева И.П.Костенко в статье «Почему надо вернуться к Киселеву?» (опубликовано в журнале "Математическое образование" взято с: http://www.portal-slovo.ru/impressionism/36366.php ):

«Наконец, пример непревзойденного искусства Киселева сравнительно с современными авторами. Держу в руках учебник для 9-го класса "Алгебра-9", изданный в 1990 году. Автор — Ю. Н. Макарычев и К0, и между прочим, именно учебники Макарычева, а также Виленкина, приводил в качестве примера "недоброкачественных, ... безграмотно выполненных" Л. С. Понтрягин [2, с. 106]. Первые страницы: §1. "Функция. Область определения и область значений функции". В заголовке указана цель — разъяснить ученику три взаимосвязанных математических понятия. Как же решается эта педагогическая задача? Вначале даются формальные определения, потом множество разношерстных абстрактных примеров, затем множество хаотичных упражнений, не имеющих рациональной педагогической цели. Налицо перегрузка и абстрактность. Изложение занимает семь страниц. Форма изложения, когда начинают с невесть откуда взявшихся "строгих" определений и затем "иллюстрируют" их примерами, трафаретна для современных научных монографий и статей.

Сравним изложение той же темы А. П. Киселевым (Алгебра, ч. 2. М.: Учпедгиз. 1957). Методика обратная. Начинается тема с двух примеров — бытового и геометрического, эти примеры хорошо знакомы ученику. Примеры подаются так, что естественно приводят к понятиям переменной величины, аргумента и функции. После этого даются определения и еще 4 примера с очень краткими пояснениями, их цель — проверить понимание ученика, придать ему уверенности. Последние примеры тоже близки ученику, они взяты из геометрии и школьной физики. Изложение занимает две (!) страницы. Ни перегрузки, ни абстрактности! Пример "психологического изложения", по выражению Ф. Клейна. Показательно сравнение объемов книг. Учебник Макарычева для 9 класса содержит 223 страницы (без учета исторических сведений и ответов). Учебник Киселева содержит 224 страницы, но рассчитан на три года обучения — для 8-10 классов. Объем увеличился в три раза!»

То есть все отзывы об учебниках Киселева сугубо положительные. Но тогда возникает вопрос – чем же была вызвана потребность в замене прекрасных учебников на нечто несуразное?

Главный и наиболее абсурдный аргумент: Киселев устарел. Вот, что говорит по этому поводу академик А.Н. Тихонов в предисловии к учебнику Киселева «Элементарная геометрия» (1980): «Со времени выхода первых учебников А.П. Киселева и математика, и школьное образование далеко шагнули вперед. Возрастание роли математики в жизни современного общества вызвало новые требования к постановке математического образования в средней школе. Поэтому содержание книг А.П. Киселева можно считать в какой-то мере устаревшим. Однако, благодаря высокому педагогическому мастерству, с которым они были написаны, простоте, доходчивости и логичности изложения, книги эти не потеряли значимости и в настоящее время. Появление предлагаемой книги... явится скромной данью признательности и уважения выдающемуся учителю математики».

Тихонов еще корректно выражает свои мысли. Однако, поясните мне, что могло устареть в арифметике, геометрии, алгебре? Что могло устареть в таблице умножения, биноме Ньютона, логарифмах, теореме Пифагора? В данном случае среди советских математиков наличествовала погоня за модой. За модной теорией множеств. Ну и за прочей кучей пряников от международного сообщества математиков. Это сообщество иной раз заставляет верить в существование не просто заговоров, а заговоров внутри самих заговоров, впрочем, для математики это как раз естественно. Во времена Пифагора они хотели, чтобы число правило миром. Во времена Ньютона им таки удалось чуть-чуть поправить миром, а потом организовать кучу разного рода тайных и не очень тайных, но все равно склочных обществ, даже одну страну почти подвели под гильотину. Да франкмасонство имеет всю ту же математическую атрибутику, что и флаг ГДР! Но вот теперь сообщество математиков желает башню из слоновой кости и чтобы им не мешали играть в бисер. Для этого достаточно сделать математический язык не понятным большинству публики, чтобы просто не мешали. Вот так и пошли внедряться разного рода странные теории в области преподавания математики. Своего рода фильтр: обычный человек не пройдет, а вот для одержимого математикой это не фильтр, а трамплин. Другое дело, что люди, всецело и полностью одержимые математикой в ущерб остальным сферам деятельности, социопаты (враги общества). Ну что тут поделаешь – издержки одержимости, издержки мономании. Понемногу научная дисциплина закукливается в своей башне слоновой кости и перестает давать практический результат, выдавая «на гора» лишь хаос. Или теорию хаоса как Илья Пригожин и Ко. Отрицательный результат зачастую – это истинная цель современной истинной науки. Ну вот такой вот отрицательный фильтр вместо математики нам и устроили. Сознательно или нет? Разумеется, сознательно. Но цель была благородная – отсечь от изучения благородной науки математики всякое безграмотное быдло. Но в итоге получили картинку: элита пилит сук, на котором сидит. Основой любой науки является практические потребности производства. Нет производства – не будет и науки – современные «Британские ученые» блестяще это подтверждают. Когда в основе не научные открытия, а индекс цитирования – наука превращается в рекурсию басни Крылова про «Петуха и кукушку». Мы получили все эти проблемы в 70-х годах 20 го века как звоночек, как предупреждение будущего развала и вакханалии реформистов. Кроме настороженных канареек Понтрягина, Логунова и других никто не внял предупреждению. Все ринулись реформировать всё и вся. Печально отмечаю тот факт, что когда над учеными не стоит «просвещенный тиран» с кнутом и пряниками, ученые склонны впадать в ничтожество собственного надуманного величия.

Вот так мы плавно переходим к людям, которые еще в 30-е годы ХХ века задумали отреформировать математику, а по итогам отреформировали таки всю страну.

Итак, говорю, что все (абсолютно все) претензии к учебникам Киселева абсолютно надуманны и преследуют цель сделать математику недоступной для основной массы населения.

Обычно считается (и Л.С. Понтрягин разделял это заблуждение), что известную реформу математики 1970-1978 гг. («реформа-70») придумал и осуществил академик А.Н. Колмогоров. Лев Семенович совершенно правильно отмечает, что организатором Колмогоров был никудышным. Значит, Колмогоров был просто свадебным водевильным генералом на этом вот «празднике жизни». Ну его в общем то заставили. Были определенные зацепки. Я их не буду обсуждать, ибо проблема гораздо большего размера и значения.

А.Н. Колмогоров был поставлен во главе реформы-70 уже на последнем этапе ее подготовки в 1967 г., за три года до ее начала. По сути он ничего не сделал, но это отмечает еще и Л.С.Понтрягин. Эта проблема была для Колмогорова неинтересной. Но вот ходы реформаторов Колмогорову импонировали: Теория множеств!

«Всю подготовительную к реформе работу вел в течение более 20 лет неформальный коллектив единомышленников, образовавшийся еще в 1930-х гг., в 1950—1960-х гг. окрепший и расширившийся. Во главе коллектива в 1950-х гг. был поставлен академик А.И. Маркушевич, добросовестно, настойчиво и эффективно выполнявший программу, намеченную в 1930-х гг. математиками: Л.Г. Шнирельманом, Л.А. Люстерником, Г М. Фихтенгольцем, П.С. Александровым, Н.Ф. Четверухиным, С. Л. Соболевым, А.Я. Хинчиным и др. Как математики очень способные, они совершенно не знали школы, не имели опыта обучения детей, не знали детской психологии, и поэтому проблема повышения «уровня» математического образования казалась им простой, а методы преподавания, которые они предлагали, не вызывали сомнений. К тому же они были самоуверенны и пренебрежительно относились к предостережениям опытных педагогов.

Истоки будущей реформы

Начало будущей реформы можно отсчитывать с 1936 г., с декабрьской сессии группы математики АН СССР. Эта группа, утвержденная президиумом АН в начале 1936 г., разделилась на две неравные части. В одной — «старые» академики: Н.Н. Лузин (председатель), Д.А. Граве, А.Н. Крылов, С.А. Чаплыгин, Н.Г. Чеботарёв, С.Н. Бернштейн, Н.М. Гюнтер. В другой — новая советская поросль — О.Ю. Шмидт, И.М. Виноградов, С.Л. Соболев, Л.Г. Шнирельман, П.С. Александров, А.Н. Колмогоров, Н.М. Мусхелишвили, В.Д. Купрадзе, А.О. Гельфонд, Б.И. Сегал и др. [3. С. 111]. Следует отметить, что после июльского 1936 г. «дела Лузина», в котором принимали самое активное участие реформаторы, Лузину пришлось покинуть группу.

Интересно, что неофициально в ее состав входило немало совсем не академиков. Они, тем не менее, во многом определяли ее решения. Из них составлялись комиссии, которые готовили материалы для принятия решений. В комиссии входили Г.М. Фихтенгольц, Л.А. Люстерник, Л.А. Тумаркин, Б.Н. Делоне, Ф.Р. Гантмахер, В.А. Тартаковский, А.О. Гельфонд и др. Эта группа (называемая «Группа-36») и инициировала реформаторские идеи.

В декабре 1936 г. Наркомпрос потребовал «коренной реорганизации постановки преподавания математики в начальной и средней школе» [2. С. 80]. «Работники вузов в этом убеждаются повседневно», отмечал, в частности, Г.М. Фихтенгольц [Там же. С. 55]. Тем не менее, в резолюции, принятой на основании докладов Г.М. Фихтенгольца и Л.Г. Шнирельмана, было обращено внимание на «неудовлетворительность учебных планов и программ, полную непригодность некоторых стабильных учебников и многочисленные недостатки остальных» [Там же. С. 78—80]»

Цитируется по: http://www.almavest.ru/ru/favorite/2011/11/24/262/ Реформа школьной математики 1970—1978 гг. К 40-летию «Колмогоровской реформы»

В отличие от процитированного автора я полагаю, что здесь наличествовал умысел. В 30е годы реформаторам не дали разгуляться по полной, так как впереди была война, да и ресурсы в стране были ограничены. Посему дискуссию решено было прикрутить. Решение было принято на самом высоком уровне. Дискуссия имела вид обсуждения дела Лузина. Слава Богу никакого дела по итогам не случилось: вмешался Крылов и доказал на самом верху, что Лузин в общем то не виноват. А дело имело ключевое значение. Травили Лузина его лучшие ученики, в том числе Колмогоров. В чём обвиняли Лузина? В том, чем потом и занялись его ученики – в формализме. Дело было так. В конце 19-го века в России справедливо считали базой математической реальности Риманову теорию, как теорию строгого детерминизма. Однако, что то свербило у Н.Бугаева из Москвы. Увы, не к добру свербило. Предоставим слово В.И.Арнольду:

Римановы поверхности считал вершиной математики ещё основатель Московского Математического общества Н. Бугаев (отец Андрея Белого). Он, правда, считал, что в современной ему математике конца XIX века начали появляться не укладывающиеся в русло этой старой теории объекты — неголоморфные функции действительных переменных, являющиеся, по его мнению, математическим воплощением идеи свободной воли в той же мере, в какой римановы поверхности и голоморфные функции воплощают идею фатализма и предопределённости.

В результате этих размышлений Бугаев послал молодых москвичей в Париж, чтобы они выучились там новой «математике свободной воли» (у Бореля и Лебега). Эту программу блестяще выполнил Н.Н. Лузин, создавший по возвращении в Москву блестящую школу, включающую всех основных московских математиков многих десятилетий: Колмогорова и Петровского, Александрова и Понтрягина, Меньшова и Келдыш, Новикова и Лаврентьева, Гельфанда и Люстерника.

Увы, из «математики свободной воли» вырос и кружок самых величайших игроков в бисер – школа Николя Бурбаки. Так в российскую математику проползла теория множеств, которая и за рубежом превратила математику в полную абстракцию, да и у нас.

Так что там «у них происходит». По причине собственной академической ничтожности (без подпитки из криптоколоний типа России, Индии, Китая, стран ЕС) математическая школа США не анализируется. Тем более, что представители науки в США «заточены» на решение «чисто» предметно-конкретных задач, а не задач вселенского масштаба с философской подоплекой глобального же масштаба. США как были местечком, так ими и пребудут. Аминь!

Итак. Для начала маленькая заметка о преподавании математики в частных школах в Англии. Ну тех, которые публичные! Ну то есть не для всех, а за большие деньги. Ну в общем, куда наши богатенькие буратинки с буратиншами своих мальвинок и пьеро сплавляют на переделку: из людей в големы.

«Сегодня здесь признают, что "нация в целом не справляется с математикой" - цитирую британскую "Гардиан". Последние рейтинги продемонстрировали, что в списке из 70 стран мира показатель успеваемости по математике в средних школах обеспечил Британии лишь бледную 27-ю позицию. Что имеет Альбион в сухом остатке? Примерно у семи миллионов взрослых столь слабые знания по математике, что им затруднительно находить себе работу в дигитальном обществе ХХI века.

Отчет Конфедерации Британской промышленности отметил, что 35 процентов работодателей считают сегодня математические знания выпускников британских школ "неадекватными". Британские СМИ назвали скандальной обнародованную недавно официальную статистику, согласно которой 140 тысяч учителей общеобразовательных школ Англии не имеют университетского диплома в преподаваемом ими предмете. Около миллиона школьников обучаются математике преподавателями без должной квалификации» . Взято с: http://www.rg.ru/2012/12/11/shkoly.html (Российская газета - полный официоз). В общем все плохо. Впрочем, все было давным давно предсказано. Клайвом С.Льюисом в эссе «Баламут предлагает тост»:

«Демократия в низшем смысле слова (так называемый "демократический дух") созидает нацию без великих, нацию недоучек, неустойчивых нравственно, так как их еще в детстве распустили, начисто лишенных воли, так как с ними всю жизнь носятся, и чрезвычайно самоуверенных (невежество + лесть). Именно это нам и требуется. Когда такая нация столкнется с другой, где дети в школе трудились, дарование вознаграждалось, невеждам слова не давали, может выйти только одно...

Недавно некая демократия удивилась, что русские обогнали ее в астронавтике. Какой пленительный образчик человеческой слепоты! Если все работает на уравниловку, откуда взяться выдающимся ученым?»

Про Германию говорить не будем. Это оккупированная страна вот уже свыше полувека. Причём, западная «отупляющая» система оккупации опаснее для разума и чувств, чем советская «запрещающая». В общем прусская система обучения сохранялась только на территории СССР.

Теперь перейдем к ключевой стране в области математики. К Франции. Почему ключевой? Ни в одной другой стране мира математика не была так развита уже к середине 17 века. И ни в одной другой стране она так быстро не выродилась в никчемные ужимки игроков в бисер школы Николя Бурбаки.

Ну началось все с Рене Декарта. Ну, может быть, чуток раньше, но ключевая роль здесь именно у Рене. Геометрию в математике отменить постарался именно он. А Бога в науке и в жизни тоже. Преждевременная смерть при таком подходе обеспечена. Она и случилась.

Современное состояние преподавания математики во Франции напоминает систему обучения умственно отсталых операциям по отверточной сборке электрических розеток для систем не выше 12 вольт.

Слово очевидцам:

«Дело в том, что практически все задачи, предлагаемые на БАКе (Единый государственный экзамен" (ЕГЭ), только называется он у них БАК (от слова "бакалавр"), можно решить с помощью хорошего калькулятора - они сейчас очень умные, эти современные калькуляторы: и любое алгебраическое преобразование сделают, и производную функции найдут, и график ее нарисуют. При этом пользоваться калькулятором при сдаче БАКа официально разрешено. А уж что-что, а быстро и в правильном порядке нажимать на кнопочки современные молодые люди учатся очень лихо. Одна беда - нет-нет да и ошибешься, в спешке не ту кнопочку нажмешь, и тогда получается конфуз. Впрочем, "конфуз" - это с моей, старомодной, точки зрения, а по их, современному, мнению - просто ошибка, ну что поделаешь, бывает. К примеру, один мой студент что-то там не так нажал, и у него получился радиус планеты Земля равным 10 миллиметрам. А, к несчастью, в школе его не научили (или он просто не запомнил), какого размера наша планета, поэтому полученные им 10 миллиметров его совершенно не смутили. И лишь когда я сказал, что его ответ неправильный, он стал искать ошибку. Точнее, он просто начал снова нажимать на кнопочки, но только теперь делал это более тщательно и в результате со второй попытки получил правильный ответ. Это был старательный студент, но ему было абсолютно "до лампочки", какой там радиус у Земли: 10 миллиметров или 6400 километров, — сколько скажут, столько и будет. Только не подумайте, что проблему можно решить, запретив калькуляторы: в этом случае БАК просто никто не сдаст, дети после школы вынуждены будут вместо учебы в университетах искать работу, и одновременно без работы останется целая армия университетских профессоров - в общем, получится страшный социальный взрыв. Так что калькуляторы трогать не стоит, тем более, что в большинстве случаев ученики правильно нажимают на кнопочки».

Подробнее см.: http://www.nkj.ru/archive/articles/457/ (Наука и жизнь, Пятое правило арифметики)

А теперь вернемся к началу, отрешившись на время от какой бы то ни было конспирологии. Возвращаемся к чистой философии науки. Из чего растет наука? Из единого в сторону расширения множества, осознания им единства и движения в сторону единства. Цикл замыкается. Единство должно осознать само себя и вернуться.

Этот философский подход доминировал в науке задолго до Платона, с которым, почему то это принцип «единства» связывают современная философия, хотя именно Платон наряду с Пифагором заложили основы будущего гностицизма и дробления единой системы знаний на мозаику невзрачных фактов. Один (Пифагор) при помощи числа и попытки исчислить мир, а другой при помощи отражений Единого в зеркалах Плеромы (да из философии Платона выросло дерево гностицизма). Я не собираюсь ругать Платона. Здесь вообще не о нем речь. Здесь речь о едином процессе познания, когда мы познаем единую структуру единого мира в комплексе, а не дробим его на съедобные части как насекомое. Увы, современные ученые сходны с насекомыми, ибо способны обсуждать только свои насущные участки коры знаний, но не способны осознать не то, что все древо знаний, но даже его отдельные ветви. Грядет глобальный «Сон Разума». Полагаю, что в данном случае даже запасы тушенки особо не помогут.

Итак, что предлагали «Начала» Евклида? Всё растёт из единого. Из одной точки. Через одну точку можно провести бесконечное количество прямых, образуя плоскость, которая имеет в отличие от линии 2 измерения. И так далее. В физике по сию пору этот «устаревший» поход доминирует, так как физики ищут (и даже находят) некую точку, из который вышел мир! Но математики, послушались Рене Декарта и отринули чертежи и геометрию. Отринули Единое и Единого Бога. В награду они получили множество. Им показалось, что свободу. Это распространенное заблуждение. Ситуация усугубляется тем, что разница между свободой и иллюзией оной не осознается современным человечеством никак. Ну то есть никак вообще. Позволю себе вольную аналогию: при всём желании среди толпы женщин лёгкого поведения, не найти ни одной, которая озабочена проблемой свободы своего избранника (да и избранника тоже). То есть путь к множеству – антагонистичен пути единого . То есть множество – довольно таки сатанистское учение, что и подтвердилось впоследствии! Достаточно вспомнить учение Ильи Пригожина о «хаосе». Ну да, единый мир из стохастического ужаса единиц – это идея фикс современных математики и физики. Разумеется, это не работает, но дает выбор между Римановым пространством предопределенности, и царством свободы в изложении новомодных теоретиков.

Ибо, что есть по их мнению свобода? Хаос! Вечная забава и ловушка анархистов, не понимающих сути общества и мира. Ведь либерализм по сути ничем не отличается от анархизма: мира индивидуума вдали от общества.

Но что может дать хаос? Пустоту (простите меня буддисты) .Парадоксально, но отказ от следования законам мира дает не свободы, а рабство. Что такое вера во множество единичных факторов? Это вера в смертность, которую не исправить уже ничем и никем. Недобрая такая вера. Но зато налицо прогресс. Прогресс математики в ущерб всем.

На самом деле даже прогресса математики нет. ДА и ему неоткуда взяться, когда единый мыслительный процесс разбит изначально – его практическое выражение равно нулю. Это в лучшем случае. По большому счету результат отрицательный.

Это совершенно закономерный процесс.

Вот современная картинка с преподаванием математики во Франции:

«Так вот, в этом учебном году я обнаружил, что среди пятидесяти моих учеников-первокурсников (у меня две группы) восемь человек считают, что три шестых (3/6) равно одной трети (1/3). Подчеркну: это молодые люди, которые только что сдали "научный БАК", то есть тот, в котором приоритет отдается математике и физике. Все эксперты, которым я это рассказывал и которые не имеют опыта преподавания в парижских университетах, сразу же становятся в тупик. Пытаясь понять, как такое может быть, они совершают стандартную ошибку, свойственную всем экспертам: пытаются найти в этом логику, ищут (ошибочное) математическое рассуждение, которое может привести к подобному результату. На самом деле все намного проще: им это сообщили в школе, а они, как прилежные ученики (а в университет попадают только прилежные ученики!), запомнили. Вот и все. Я их переучил: на очередном занятии (темой которого вообще-то было производная функции) сделал небольшое отступление и сообщил, что 3/6 равно 1/2, а вовсе не 1/3, как считают некоторые из присутствующих. Реакция была такая: "Да? Хорошо..." Если бы я им сообщил, что это равно 1/10, реакция была бы точно такой же.

В предыдущие два учебных года процентов десять-пятнадцать моих студентов систематически обнаруживали другое, не менее "нестандартное" математическое знание: они полагали, что любое число в степени -1 равно нулю. Причем это была не случайная фантазия, а хорошо усвоенное знание, потому что проявлялось неоднократно (даже после моих возражений) и срабатывало в обе стороны: если обнаруживалось что-либо в степени -1, то оно тут же занулялосъ, и наоборот, если что-либо требовалось занулить, подгонялась степень -1. Резюме то же самое: их так научили.

Вот чему несчастных французских детей никак не могут по-настоящему научить, так это обращаться с дробями. Вообще, дроби (их сложение, умножение, а особенно деление) - постоянная головная боль моих студентов. Из своего пятилетнего опыта преподавания могу сообщить, что сколько-нибудь уверенно обращаться с дробями могли не больше десятой части моих первокурсников. Надо сказать, что арифметическая операция деления - это, пожалуй, самая трудная тема современного французского среднего образования. Подумайте сами, как объяснить ребенку, что такое деление: небось станете распределять поровну шесть яблочек среди троих мальчиков? Как бы не так. Чтобы рассказать, как учат делению во французской школе, я опять вынужден обращаться к экспертам. Пусть не все, но кое-кто из вас еще помнит правило деления в столбик. Так вот, во французской школе операция деления вводится в виде формального алгоритма деления в столбик, который позволяет из двух чисел (делимого и делителя) путем строго определенных математических манипуляций получить третье число (результат деления). Разумеется, усвоить этот ужас можно, только проделав массу упражнений, и состоят эти упражнения вот в чем: несчастным ученикам предъявляются шарады в виде уже выполненного деления в столбик, в котором некоторые цифры опущены, и эти отсутствующие цифры требуется найти. Естественно, после всего этого, что бы тебе ни сказали про 3/6, согласишься на что угодно».

Подробнее см.: http://www.nkj.ru/archive/articles/457/ (Наука и жизнь, Пятое правило арифметики доктор физико-математических наук Виктор Степанович Доценко)

Точно такое же впечатление от уровня преподавания математики во Франции сложилось у академика Владимира Игоревича Арнольда:

«- С математическим образованием в мире дела обстоят очень плохо. В России, кстати, получше, но все равно плохо!.. Начну с высказывания, прозвучавшего на одном из заседаний в Париже, где выступал министр науки, образования и технологий Франции. То, что он говорил, относится к его стране, но столь же актуально для США, Англии и России. Просто во Франции катастрофа наступила чуть раньше, в других странах - она еще впереди. Школьное образование начало гибнуть в результате тех реформ, которые интенсивно проводятся во второй половине ХХ века. И особенно печально то, что некоторые выдающиеся математики, к примеру уважаемый мной академик Колмогоров, имеют к ним отношение... Французский министр отметил, что математика постепенно вытесняется из школьного образования. Аналогичный процесс наблюдается и у нас, где математику нередко заменяют более «важными» науками.

- Я понимаю, что это неприятно слышать, но тем не менее... Министр из Франции, о котором идет речь, — не математик, а геофизик - рассказал о своем эксперименте. Он спросил школьника: «Сколько будет два плюс три?». И этот школьник - умный мальчик, отличник - не смог сосчитать... У него был компьютер, преподаватель в школе научил им пользоваться, но сложить в уме два и три школьник не умел. Правда, это был способный мальчик, и ответил он так: «Два плюс три будет столько же, сколько три плюс два, потому что сложение коммутативно...» Министр был потрясен его ответом и предложил убрать из всех школ преподавателей-математиков, которые так учат детей».

Подробнее см.: http://www.nkj.ru/archive/articles/5174/ (Наука и жизнь, АКАДЕМИК В. И. АРНОЛЬД:ПУТЕШЕСТВИЕ В ХАОСЕ).

Франция, когда бывшая одной из первых стран в области математики (Коши, Пуанкаре и многие многие другие) внезапно скатилась ниже уровня своих бывших колоний. Например, Вьетнама. Причём, основы процесса деградации были заложены еще в 19 веке. Современные компьютеры просто усугубили дело.

Ситуация в США: «Более того, 80 процентов современных учителей математики в Америке понятия не имеют о дробях, не могут сложить половину с третью. А среди учеников таких - 95 процентов!» (там же).

В общем тенденция общемировая. Пока еще выручают американскую науку эмигранты из стран бывшего СССР и Юго-Восточной Азии. У самих жителей США с математикой дела плохи. Зато отлично дела обстоят с разного рода вспомогательными дисциплинами типа кулинарии. Похоже, что США утрачивают свое технологическое преимущество как раз по причине деградирующей системы школьного образования. Система образования в США отягощена также еще и расовыми предрассудками, мешающими правильному восприятию математики. Предоставим слово опять академику Арнольду:

«Я попытался докопаться до сути проблемы и выяснить, почему в Америке могло случиться подобное? И оказывается, источником является Томас Джефферсон.

- Второй президент США?

- Он, голубчик! Отец-основатель Америки, творец конституции, идеолог независимости. В его письмах из Вирджинии есть такой пассаж: «Я точно знаю, что ни один негр никогда не сможет понять Евклида и разобраться в его геометрии». Из-за этого американцы вынуждены отвергать Евклида, математику и геометрию, которые заменяются знанием того, на какую кнопку надо нажимать... Вместо размышлений - механическое действие, что выдается за борьбу с расизмом!

- Это слишком болезненная проблема для Америки, и то, что они «перестраховываются», понять можно... А может быть, им проще купить тех, кто знает дроби, чем самим этому учиться?!

- Они и покупают! Американские ученые - в основном эмигранты из Европы, а аспиранты сегодня - это китайцы и японцы.

- Но тем не менее успехи американской науки вы не можете отрицать?

- Я не делаю сейчас обзор о состоянии науки в США или американского «образа жизни». Я говорю о состоянии преподавания математики в школах США, и здесь ситуация плачевная. Я обсуждал эту проблему с выдающимися математиками Америки, многие из них - мои друзья, достижениями их я горжусь, но тем не менее я задавал им такой вопрос: «Как вам удалось при столь низком школьном образовании достичь столь высокого уровня в науке?». И один из них мне ответил так: «Дело в том, что я рано научился «двойному мышлению», то есть у меня было одно понимание предмета для себя, а другое - для начальства в школе. Мой учитель требовал, чтобы я ему отвечал, что дважды три - восемь, но сам-то я знал, что это шесть... Я твердо знал, что надо отвечать на уроках и что есть на самом деле... Я много занимался в библиотеках, благо, есть прекрасные книги».

Похоже, что в данном вопросе мы все же чуточку подотстали от остального «прогрессивного человечества». Что касается «передового характера американской науки», то здесь наличествует существенный перекос фундаментального значения. Да США покупают иностранных ученых. Но не науку. Наука как единый целостный организм там рушится. Почему?

Целый ряд причин:

1. США представляют собою деиндустриализированную страну. Основной сектор экономики – предоставление услуг. Прежде всего финансовых. Основные центры производства товаров для США в Китае. Программное обеспечение для американских фирм, торгующих «софтом», пишется в основном в штате Бангалор Индия. Где нет машинного производства – там наука в общем то не нужна, так как отсутствует сфера ее применения.
2. США отсутствует стройная система подготовки собственных научных кадров: от школы до университета. Университеты иногда довольно таки сильные, а вот школы очень и очень слабые. По итогам ввозят уже готовых специалистов, но не науку.
3. Система альтернативного выбора предметов. Или то, что нынче именуют Болонской системой. Вместо того, чтобы давать студенту стандартный набор общих предметов – ему предоставляют возможность по собственному выбору дополнять образовательную линейку. По итогам получаются не физики, а специалисты в области обслуживания пузырьковых камер со знанием макраме и кулинарии.
4. Система подготовки специалиста в 2 уровня: бакалавр-магистр. Причем, на уровне бакалавра (старый советский техникум) готовят узкого специалиста, из которого потом (на уровне магистра) пытаются подготовить специалиста широкого профиля с обширным кругозором. Разумеется, ничего не выходит, так как нельзя ставить частное раньше общего: искажается восприятие и возникает барьер на пути осознания общего. По итогам в науке в США мы получаем сценку из интермедии Райкина про «узких специалистов».
5. В США, как ни покажется странным, сильна цензура в науке. Целые направления в науке не изучаются по причине, противоречащей общей идеологии либерализма. Например, случай с открытием Брюсом Ланом гена микроцефалина. Ген отвечает за развитие коры головного мозга и, соответственно, за развитие абстрактного мышления. У жителей Чёрной Африки этого гена нет. Открытие умалчивается и не изучается. Современное «политкорректное» давление на науку – это нечто. Вот пример: В эту среду одной из главных новостей стала посадка научного модуля «Фила» космического зонда «Розетта» на поверхность кометы Чурюмова — Герасименко. За несколько часов до того Мэтт Тейлор, один из работавших над проектом ученых, дал интервью. Правда, общественность обратила внимание не на его слова, а на то, во что он был одет: на мужчине была яркая рубашка для боулинга с изображениями женщин в эротичных костюмах. Пользователи соцсетей и журналисты обрушились на Тейлора с обвинениями, а издание The Verge опубликовало колонку с громким заголовком «Мне плевать, что ты посадил космический летательный аппарат на поверхность кометы, твоя рубашка сексистская и оскорбительная». В колонке рубашку описали как «шаг вперед для человека, три шага назад для человечества», а также назвали ее причиной, по которой многие женщины не решаются заниматься наукой. Взято с: http://www.kultpult.ru/Goneniya-na-normu-K-osuzhdeniyu-uchyonogo-v-seksistskoj-rubashke-i-opravdaniyu-femen-68. Ситуация усугубляется тем, что современная идеология, господствующая в США, по сути это фрейдомарксизм в изложении Франкфуртского института социальных исследований. Основной постулат фрейдомарксизма – приоритет прав меньшинств даже в ущерб обществу. Здесь позиция фрейдомарксистов зачастую смыкается с позицией «объективистов», отрицающих существование общества как такового.
6. США довольно таки однобоко подходят к импорту ученых. Ввозят узких специалистов. Ученых, специализирующихся на истории науки, философии науки, научной методологии не ввозят, а ведь здание науки базируется именно на таких вот специалистах широкого профиля. Казалось бы это люди ничем таким уж важным «чиста конкретным» не занимаются, а всего лишь «наводят критику», указывая, что в «этом направлении работали в Италии в 70-х годах». Тем не менее, именно эти люди определяют общее направление развития науки, а также попутно экономят время и ресурсы, мешая «изобретать велосипеды».

В общем, даже в ближайшее время науку в США ничего хорошего не ждет. Как академическую (по причине отсутствия академий), так и прикладную по причине отсутствия производства.

Во Франции, пока есть и академическая наука, так и производство (транспортное машиностроение, атомная энергетика), тем не менее математика там уже «в загоне».

Тому есть по меньшей мере 2 причины. Спекулятивная и фундаментальная. Они взаимосвязаны.

Спекулятивная – это либерализация системы образования во Франции после 1968 года.

Фундаментальная – общая беда современной науки – дробление единого знания, единой системы на фрагменты. На мозаику.

Краткосрочная проблема. Она почему то удивительным образом напоминает нашу скоропалительную систему «реформирования» математического образования. По результатам ее преподавание в школе стало походить на зазубривание наукообразных формул. Причем, зазубривающие, ни в коей мере не понимают сути процедур. Корни этого процесса лежат в стремлении к наукообразию. Именно эта ложная цель сподвигла часть наших несознательных реформаторов на ломку устоявшейся системы преподавания математики.

Фундаментальная проблема связана с дроблением единого массива знаний в пользу множественности. С отрицанием геометрии и практической составляющей математики. Если математику мыслить как абстрактную науку, ничем не связанную с реальностью, то на выходе мы получим никчемную абстрактную дисциплину. Как и произошло во Франции.

Вот мнение Арнольда на этот счет:

«Извольте... По сути дела, вся французская наука началась с Рене Декарта. Он - в ее основе. И он же - причина ее гибели. Декарт провозгласил ряд принципов, которым и сегодня следуют ученые Франции. Первый принцип: «Не имеет никакого значения соответствие исходных положений науки с какой-либо реальностью». То есть произвольное высказывание путем всевозможных преобразований превращается в новое высказывание. Вот и все! Когда Ньютон это прочитал, у него волосы встали дыбом. Он вскипел и заявил, что данный принцип губит всю физику... Второй принцип Декарта: «Столь же мало смысла имеет сравнивать с экспериментом выводы наших теорий». Значит, никакого реального значения наши исследования не имеют... Третий принцип: «Чтобы математика стала наукой, надо прежде всего изгнать из нее чертежи». Расшифровка этого принципа показывает, что надо избегать эксперимента и выключить из исследования воображение... Четвертый принцип: «Надлежит немедленно и навсегда исключить все методы обучения. Только мой метод является основательным, серьезным, научным, разрешенным. Преимущества моего метода состоят в том, что это единственный демократический метод. С его помощью любая посредственность получит такие же результаты, как и самый умный ученик». Всего у Декарта было около двадцати принципов, я привел только четыре...»

Подробнее см.: http://www.nkj.ru/archive/articles/5174/ (Наука и жизнь, АКАДЕМИК В. И. АРНОЛЬД:ПУТЕШЕСТВИЕ В ХАОСЕ)

В общем то родоночальник материализма в современной науке – Рене Декарт как заложил основы роста науки, так и начал копать ее могилу.

Теперь, разобравшись с гнилым фундаментом современной математики, можно перейти и к каменщикам, которые возводили ее здание. Тут, увы, нам не обойтись без конспирологии. Поскольку речь идет о Франции и математике, то нам не избежать темы масонов, тем более, что масонство и математика невероятно близки друг к другу: достаточно вспомнить масонскую символику, которая практически полностью повторяет основы и инструментарий геометрии: циркуль, наугольник, треугольник, различного рода геометрические фигуры. Наиболее выдающиеся представители французской политической и научной элиты были масонами. Возьмём к примеру семью выдающегося французского генерала-якобинца Лазара Карно. В 1783 году публикует знаменитую работу «Очерки о машинах», в которой он разрабатывает теорию технологии, ставшую основой индустриализации Европы, и формулирует принципы термодинамики. В 1784 разрабатывает Теорию Воздушных Аппаратов, а в 1785 году издает математический труд «Размышление о бесконечных множествах», где предлагает теорему, которая позже была окончательно сформулирована его сыном Сади (известная теорема Карно). Сам генерал был одним из самых выдающихся военных деятелей Французской республики. Именно под началом Лазара Карно французские республиканские войска разбили австрийцев в 1793 году в битве при Ваттиньи, с 1793 по 1795 год Карно, проявив себя великолепнейшим организатором создал 14 республиканских армий, был членом Директории. Был он и активным деятелем масонства. И масонского культа «Верховного существа». Полагаю, что не нужно пояснять почему так много французских ученых становились масонами: культ наукообразия, культ разума, который проповедовали масоны – их притягивал как магнитом. Главной движущей силой революции 1789 года – была масонская ложа «Девять сестер», которая де факто была организована при королевской академии. Эта ложа ( «Les Neuf Sœurs») была создана в Париже в 1776 году и несла ответственность за совершение целых двух революций: американской и французской. В числе прочих членов этой ложи были Бенджамин Франклин, Камиль Демулен, Жак-Этьен Монгольфье и многие другие выдающиеся люди. Помимо указанного выше «культа науки» масонские ложи предоставляли своим членам «карьерный рост» и возможность почувствовать себя причастными власти, возможность возвыситься над толпой. Совершенно справедливо можно считать масонов по религиозным воззрениям наследниками гностических культов, так как в основе и тех и других наличествует деление человечества на гиликов и на пневматиков, то есть на материальных и на духовных (на «элиту» и на «быдло»). Разумеется, научное сообщество Франции не могло пройти мимо такой вот возможности «попасть» в «элиту». Многие и попали. А оттуда сразу на гильотину. Как, например, Лавуазье.

Стремление к ниспровержению основ и к элитарности сыграло крайне злую шутку с учеными Франции. Математика оторвалась от практики и стала склонна к теоретизированию, абстракции и узкой специализации.

«Абель писал из Парижа, где провёл около года, что «со здешними математиками говорить ни о чём нельзя, так как каждый из них хочет всех учить и не хочет ничему сам учиться. В результате, — пророчески писал он, — каждый из них разбирается только в одной узкой области и ничего не понимает вне её. Есть специалист по теории тепла {Фурье}, есть — по теории упругости {Пуассон}, есть по небесной механике {Лаплас}, и только один Коши {Лагранж жил в Берлине} мог бы что-нибудь понять, но он интересуется только своим приоритетом» {например, в применении комплексных чисел к предложенному Ламе решению проблемы Ферма путём разложения бинома xn+yn на комплексные множители}.

И Абель, и (десятком лет позже) Галуа сильно вышли за рамки «готовых схем» (разработав, в случае Абеля, топологию римановых поверхностей и выводя из неё как невозможность решения уравнений пятой степени в радикалах, так и невыразимость в виде элементарных функций «эллиптических интегралов», вроде интеграла от квадратного корня из многочлена третьей или четвёртой степени, выражающего длину дуги эллипса, и обратных им «эллиптических функций»).

Поэтому Коши «потерял» рукописи обоих, Абеля и Галуа, так что сочинение Абеля о неразрешимости было опубликовано (Лиувиллем) лишь через десятки лет после того, как, по словам парижской газеты того времени, «этот бедняк вернулся в свою часть Сибири, называемую Норвегией, пешком — не имея денег на билет на корабль — по льду Атлантического океана». (цитируется по http://scepsis.net/library/id_650.html В.И.Арнольд «Новый обскурантизм и Российское просвещение»).

Разумеется, желание жить и работать в «башне из слоновой кости» доминировало среди французских математиков. Для французов вообще характерно заниматься некими абстрактными занятиями на грани праздности: лозунг «искусство для искусства» изобретен французами. В 20м веке группа молодых математиков создало чудовище, угрожающее математике всего мира. Это школа Николя Бурбаки. Для того, чтобы не считаться в глазах почтенной читающей публики предвзятым «зоилом» процитирую характеристику данной школы из интернет-ресурса «Википедия»:

В трактате (Бурбаки) все математические теории описываются на основании аксиоматической теории множеств в духе крайней абстракции. Например, определение обыкновенного натурального числа 1 в «Теории множеств» даётся следующим образом:

Причём, учитывая, что в этой записи уже сделаны сокращения (например, пустое множество ∅ определяется в языке теории множеств Бурбаки как Bourbaki empty.gif[6]), мы получаем, что полная запись обыкновенной единицы состоит из 2 409 875 496 393 137 472 149 767 527 877 436 912 979 508 338 752 092 897 знаков и 871 880 233 733 949 069 946 182 804 910 912 227 472 430 953 034 182 177 связей[7], то есть полная запись терма, обозначающего единицу, заняла бы сто миллиардов квинтиллионов квинтиллионов книг [8]. Такой уровень абстракции (причём в трактате, не посвящённом исключительно математической логике) не мог не вызвать нарекания.

Представители современной математики часто критикуют подход, представленный в книгах Бурбаки, ныне называемый «бурбакизмом», обвиняя его в излишней заформализованности и «истреблении духа математики». Действительно, участники группы, как правило, были сторонниками чистой математики. Большинство членов группы не уделяло достаточного внимания таким разделам математики, как дифференциальные уравнения, теория вероятностей, математическая физика, а также разделам прикладной математики, таким как численные методы или математическое программирование. В наибольшей степени это относится к их коллективному трактату.

Одним из наиболее заметных критиков бурбакизма в России являлся академик В. И. Арнольд. Так, в одной из своих статей Арнольд пишет: «…Действительно, для Бурбаки все общие понятия важнее их частных случаев, поэтому все нестрогие неравенства являются фундаментальными, а строгие — маловажными специальными случаями, примерами…». Однако точка зрения Арнольда не всегда бывает нейтральной и взвешенной: «…Вот почему бурбакистская мафия, заменяющая понимание науки формальными манипуляциями с непонятными „коммутативными“ объектами, так сильна во Франции, и вот что угрожает и нам в России».

Конец цитаты.

Сами понимаете, что с Владимиром Игоревичем Арнольдом я всецело и полностью согласен. В отличие от отдельно взятой банды математиков, пишущих под псевдонимом Николя Бурбаки. Вопрос пишут они или писали весьма актуален. Официально считается, что Бурбаки «умер» в конце 1968 года, когда «революция сорбоньяков» достигла цели и уничтожила правление президента де Голля. Но тем не менее, что то шевелится под личиной Бурбаки и какие то работы выпускаются. Но основное дело сделано: единая система преподавания математики порушена: есть школы для «простых», есть для «элиты», а есть отдельные кружки для будущих бурбакистов, которые, впрочем, в прикладном плане такие же 0 как и все остальные. Математики убили математику!

Про "Бурбаки" ответить проще всего. Эта школа никуда не делась, она продолжает функционировать, но при этом стала похожей на "черную дыру": людей (и талантливых людей!) она продолжает в себя "всасывать", но что там у нее делается внутри, те, кто находится снаружи, уже не знают. Это стало чем-то вроде "игры в бисер" Германа Гессе. Хотя мощная математическая традиция "Бурбаки" во французском обществе конечно же осталась. Именно поэтому несчастных детишек здесь так мучают шарадами про деление в столбик. Или, к примеру, когда нужно было решить уравнение 5х + 3 = 0, один мой студент исписал целую страницу рассуждениями про структуру и счетность множества решений такого типа уравнений, но само уравнение решить так и не смог. Хорошо известно, что получается, если из учения, веры или науки уходит дух, а остается один формальный ритуал: маразм.

Подробнее см.: http://www.nkj.ru/archive/articles/457/ (Наука и жизнь, Пятое правило арифметики)

Некритичное восприятие западных «новинок» принесло и нам свою дурную жатву с чужого урожая:

Реформу преподавания математики во второй половине 20-го века. Отрицание геометрии, «псевдонаучность» определений на несколько страниц, абстрагированность алгебры от реальности выдают с головой в создателях реформы преподавания адептов школы Николя Бурбаки. Еще раз подчеркну, что, хотя реформирование и приписывается Колмогорову – сам Колмогоров к этому безобразию имел отношение весьма посредственное. Хотя бы с той точки зрения, что Колмогоров не играл в абстракции, а полагал задачи математики и задачи для математики сугубо практическими. Но реформаторы чудесным образом спрятались за широкой спиной академика Колмогорова.

В современной околоматематической тусовке критика реформ имени Колмогорова расценивается как покушение на основы математики. Вот типичный пример:

Понтрягин, конечно, не мог не понимать, что удар по школьным учебникам — это удар по Колмогорову. Разумеется, Колмогоров не мог стоять выше критики, критика его была допустима, но критические отзывы о работе математика в журнале «Коммунист» являлись не столько критикой, сколько предательским ударом в спину, попыткой насильно оборвать работу, чего Понтрягин не мог не понимать. Поскольку же действительные мотивы Понтрягина из статьи не ясны, темой он не владел, не имел даже возможности обдумать взбалмошные свои заявления, то возникает вопрос, с какой целью он написал статью и, особенно любопытно, с какой целью отдал ее именно в «Коммунист»? Главный же вопрос в том, почему в «Коммунисте» приняли к публикации статью Понтрягина, если к тематике журнала она не имела ни малейшего отношения? Сравнить это можно с тем, например, как если бы журнал о балете опубликовал статью «Боль животноводов» — совершенно не в тему, полный аут. «Коммунист» — это был теоретический и политический орган вещания ЦК КПСС, тематика которого к школе и просвещению ни имела ни малейшего отношения, а равно и к математике. Стало быть, действия редакции «Коммуниста» и Понтрягина остаются совершенно не ясными. (Преподавание математики в школе и реформа А.Н. Колмогорова Дм. Добров • 2 февраля 2012 г. Взято с: http://www.dm-dobrov.ru/history/mathematics.html)

Типичный пример непонимания адептами Колмогорова сути проблемы. Им трудно понять, что Понтрягин высказывался за спасение школьного математического образования, а не против их любимого Колмогорова. Вполне возможно, что реформаторы школьного образования, заручившись именем Колмогорова, сознательно подталкивали общество к дискуссии «За» или «Против» Колмогорова, в то время как нужно было искать суть проблемы. Но искать суть проблемы сложно. Проще выставить скандал в математическом сообществе как «разборку» кланов и обиду Колмогорова. Это и наглядно и по обывательски понятно.

Но предоставим слово самому Льву Семеновичу Понтрягину:

«Все технические науки в какой-то степени опираются на математику. Во всяком случае, для понимания их необходимо знание элементарной математики: алгебры, геометрии, тригонометрии. Не зная элементарной математики, нельзя стать инженером, особенно инженером-конструктором. Поэтому хорошая постановка преподавания математики в средней школе является необходимым условием для научно-технического прогресса страны.

В дореволюционной России и после революции в Советском Союзе, за исключением короткого периода послереволюционной разрухи, математика преподавалась в средних школах вполне удовлетворительно. Этим объясняются наши успехи в таких сложных областях техники, как самолётостроение и космос. Начав вторую мировую войну с отставанием в области авиации, Советский Союз к концу войны перегнал Германию. Советский Союз первый вывел в космос искусственный спутник и первый послал туда человека.

За последние годы, однако, преподавание математики в средней школе в нашей стране резко ухудшилось. В результате этого ослаб интерес школьников к математике и к наукам, требующим знания математики. Понизился конкурс в вузы, требующие математической подготовки. Пришло в упадок преподавание математики также и в высших школах. Всё это привело или приведёт в ближайшем будущем к снижению научно-технического прогресса в нашей стране. В дальнейшем это может привести к катастрофическому положению.

О причинах, приведших к развалу преподавания математики в советской средней школе, я узнал из телевизионного выступления министра просвещения СССР М. А. Прокофьева. Приблизительно в 1978 году Прокофьев сказал (цитирую по памяти): «Лет 12 тому назад многими авторитетами было признано, что в средней школе преподаётся лишь устарелая математика. Новейшие её достижения вовсе не освещаются. Поэтому было решено начать модернизацию преподавания математики в средней школе. Эта модернизация осуществлялась Министерством просвещения СССР при участии Академии педагогических наук и Академии наук СССР».

Руководство Отделением математики АН СССР рекомендовало для работы по модернизации академика А. Н. Колмогорова, который играл в модернизации руководящую роль. Поэтому ответственность за трагические события в средней школе в значительной степени лежит на нём. Математические взгляды А. Н. Колмогорова, его профессиональные навыки и человеческий характер неблагоприятным образом отразились на преподавании. Ущерб, причинённый развалом преподавания математики в советской средней школе, может быть сравнен по своему значению с тем ущербом, который мог бы быть причинён огромной общегосударственной диверсией.

Основное содержание модернизации заключалось в том, что в школьную математику внедрялась теоретико-множественная идеология, чуждая нормально мыслящему школьнику, склонному к практическому применению полученных в школе знаний, интересная лишь для школьников с извращённым мышлением. Кроме того, в программу были введены элементы математического анализа и метода координат. В школьный курс было введено «множество» не как слово русского языка, а как основное понятие. Ему сопутствовали понятия: включение одного множества в другое, пересечение двух множеств, сумма двух множеств и соответствующие значки. Понятие множества использовалось для формулировки определений. Так, геометрическая фигура была определена как множество точек. А так как в теории множеств слово «равенство» означает совпадение множеств, оказалось, что в геометрии равенство двух фигур означает их полное совпадение. Так возникла необходимость говорить не о равных геометрических фигурах, а о конгруэнтных геометрических фигурах, не считаясь с тем, что слово «конгруэнтность» чуждо русскому языку и чуждо практике. Ведь никакой строитель не будет говорить о конгруэнтных балках, он будет говорить об одинаковых или равных балках».

Внедрение теоретико-множественной идеологии в школьную математику, несомненно, соответствовало вкусам А. Н. Колмогорова. Но само это внедрение, я думаю, уже не находилось под его контролем. Оно было перепоручено другим лицам, малоквалифицированным и недобросовестным. Здесь сказалась черта характера Колмогорова. С охотой принимаясь за новое дело, Колмогоров очень быстро охладевал к нему и перепоручал его другим лицам. При написании новых учебников, по-видимому, произошло именно это. Составленные в описанном стиле учебники печатались миллионными тиражами и направлялись в школы без всякой проверки Отделением математики АН СССР. Эту работу осуществляли под руководством Колмогорова методисты Министерства просвещения СССР и Академии педагогических наук. Жалобы школьников и учителей безжалостно отвергались бюрократическим аппаратом министерства и Академии педагогических наук. Старые опытные учителя в значительной степени были разогнаны. Этот разгром среднего математического образования продолжался более 15 лет, прежде чем он был замечен в конце 1977 года руководящими математиками Отделения математики АН СССР. Ответственность за происшедшее лежит, конечно, не только на одном А. Н. Колмогорове, Министерствах и Академии педагогических наук, но также и на Отделении математики, которое, поручив Колмогорову ответственную работу, совсем не интересовалось тем, как она осуществляется.

После того как в конце 1977 года до математиков, занимающихся наукой, наконец-то дошло, что в средней школе неблагополучно, десять академиков-математиков обратились с письмом в ЦК. В этом письме мы выражали тревогу по поводу происходящего в школе.

Нa определённом этaпе рaзвития мaтемaтики высокоaбстрaктнaя теоретико-множественнaя концепция ввиду её новизны стaлa модной, a увлечение ею - превaлировaть нaд конкретными исследовaниями. Но теоретико-множественный подход - лишь удобный для мaтемaтиков-профессионaлов язык нaучных исследовaний. Действительнaя же тенденция рaзвития мaтемaтики зaключaется в её движении к конкретным зaдaчaм, к прaктике. Современные школьные учебники по мaтемaтике поэтому - шaг нaзaд в трaктовке этой нaуки, они несостоятельны по своему существу, поскольку выхолaщивaют суть мaтемaтического методa.

("Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим").

Вот собственно и вся подоплека. Проблема была в действительной тревоге за состояние преподавания математики в стране, а вовсе не в нападках на непотопляемого Колмогорова. Истинная опасность (теория множеств, насильно вбиваемая в головы школьников) также названа. Недалекие адепты Колмогорова совершенно не понимают сути проблемы. Суть проблемы в бурбакизации школьного образования. Когда вместо ёмких и понятных школьнику определений даются псевдонаучные «точные», но совершенно не понятные школьнику. Не случайно один из учеников Колмогорова В.И.Арнольд категорически высказывается против бурбакизации школьного образования.

Одним из главных идеологов реформирования школьного образования был А.Я. Хинчин, который публиковал в 30-40х годах 20-го века программные статьи (набор из шести тезисов). Отмечу, что при всем уважении к Александру Яковлевичу, следует отметить, что в школьном образовании он не сильно разбирался. Ниже я приведу тезисы Хинчина и опровержение его тезисов мною.

Современная тенденция к гуманитаризации школьного образования – по сути «путь в никуда», так как снижает планку требований к ученику, а его разум забивает кучей совершенно ненужных знаний из области литературы.

Резюме. Отказаться от новелл в образовании и вернуться к статусу образования начала 50-х годов ХХ века, отказавшись от сомнительных идей прогресса в области школьного образования.

Использованная литература:

1. Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим.
2. Русские учебники по математике А.П. Киселева (1852 — 1940) http://oko-planet.su/history/historysng/155456-russkie-uchebniki-po-matematike-ap-kiseleva-1852-1940.html
3. Л.С.Понтрягин. О математике и качестве её преподавания. Журнал «Коммунист», 1980, № 14
4. В.И.Арнольд «Новый обскурантизм и Российское просвещение» http://scepsis.net/library/id_650.html
5. Реформа школьной математики 1970—1978гг. К 40-летию «Колмогоровской реформы» http://www.almavest.ru/ru/favorite/2011/11/24/262/
6. И.П.Костенко «Почему надо вернуться к Киселеву?» (опубликовано в журнале "Математическое образование" взято с: http://www.portal-slovo.ru/impressionism/36366.php )
7. Преподавание математики в школе и реформа А.Н. Колмогорова Дм. Добров • 2 февраля 2012 г. Взято с: http://www.dm-dobrov.ru/history/mathematics.html
8. Наука и жизнь, академик В.И.Арнольд «Путешествие в хаосе» http://www.nkj.ru/archive/articles/5174/
9. Наука и жизнь, Пятое правило арифметики доктор физико-математических наук Виктор Степанович Доценко: http://www.nkj.ru/archive/articles/457/

Сведения об авторе: Нефёдоров Игорь Александрович (Nefedorov Igor Aleksandrovich) – nefedorov1970@gmail.com